声に出さないけど思っていること)

7月22日は「円周率の日」?

「円周率」について書いてみる。

 

他の多くの数字と異なり、「〜数」ではなく「〜率」という名前で呼ばれる。けれどもれっきとした数である。

小学生の頃にしれっと現れて以来、数学の授業では当たり前に登場するけれど、「3」や「3.14」や「π」などと姿を変える。

おかげで存在自体はよく知っているのに、名前や姿にぴんとこない、いまひとつ形を掴めないでいた。この数について考えてみる。

 

「円周率」とは何か

「『円周率』とは何か?」と聞かれたら、私はこう答える。

円の周りの長さを求めるための数(倍率)

 

「円周」を求めるための倍「率」、だから「円周率」。

わかったような、わからないような。

だから、自分を納得させるために図を書いた。

 

「円周率」の名前の由来

突然だが、正三角形について考える。

正三角形の1辺の長さを3倍にすると、正三角形の周りの長さが出る。

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次に、正方形について考える。

方形の1辺の長さを4倍にすると、正方形の周りの長さが出る。

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最後に、円について考える。

円の直径を3.14倍にすると、円の周りの長さ(=円周)が出る。

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この3.14が円周率である。

つまり、「円の周りの長さを求めるための数」である。

 

そう考えるようにして、やっと納得できるようになった。

これを他のひとに説明する機会はまだない。ちなみに、便宜上3.14として記載したが3.14はあくまでも近似値である。

 

円周率の特徴

円周率には終わりがない。

3.141592…と続き、 出てくる数の順番に規則もない。

これらの性質は「無理数」や「超越数」という言葉で表現され、証明されている。壮大だ。

専門的なことは、専門家にまかせるとしよう。

 

この性質にあやかり、円周率の頭3つの数字から「3月14日を結婚記念日にするひとがいる」と聞いたことがある。永遠の愛を誓うのだと言う。

 

ここで、この記事のタイトルに戻る。

7月22日は「円周率の日」?、とある。

この「7」「22」とは何か。円周率との関係を書きたい。

 

円周率に 近い” 数字

7や22と円周率は、一見、なんの関係もないように見える。

試しに円周率の文字列一覧表を用いて調べると、「722」という文字列が円周率の数列の中に登場するのは3,300桁台の話。以降1万桁までに10回登場するが、それを「関係がある」とは言えないだろう。

 

ところが、「22/7(7分の22)」という数字は、円周率に近い数字として、紀元前2000年頃から円周や面積を求める数として使われてきたようだ。

22/7 = 3.142857(下線部6桁を繰り返す循環小数

 

たしかに近い。

 

古代は「万物を整数と整数の比(=分数)で表現可能」と信じられていたようだから、ここまで近い値があれば広く用いられたことにも納得がいく。

 

ならば私は、7月22日を「円周率近似値の日」としたい。

 

分数で表せる数字は、「無理数」にも「超越数」にもならない。

無理数の反対で、「有理数」と呼ばれる。)

けれども、4000年以上の歴史がある数字には、コンピュータを使って求められた最新の円周率よりも、歴史や、探求の心や、そこに人間がいたという事実を強く感じることができる。

突拍子もないように見える数字を求めようとする姿勢に、感動さえする。

 

「円周率」と「素数を考える

ここまで書いて気付いたことがある。

 

私はこれまで、「素数」を考えるにあたり、素数が「永遠に存在する」「永遠に続く」のように、「永遠」という言葉を使ってきた。

しかし、この記事を書いて、「円周率」や「素数」について考える時に連想される「終わりがない」という特徴には、違いがあると感じている。

素数が永遠に続く」と言う時は、素数と名付けられた数が終わりなく存在する、という意味。対して、

「円周率が永遠に続く」と言う時は、円周率というたった一つの数が終わりなく続く、という意味だ。

 

ということは、

素数は「無限に存在する」

円周率は「永遠に続く」

のように、「終わりがない」という言葉を使い分けたほうがよいかもしれない、と思った。

まだ、自分にとっての答えが見つかったわけではないが、これからも考え続けたい。

 

まとめ

・「円周率」とは「円の周りの長さを求めるための数(倍率)」のこと

・円周率に近い値の「22/7」より、7月22日を「円周率近似値の日」としたい

・「無限」と「永遠」の違いについて考える

 

そして今年の「完全数の日」が終わる

6月28日。今年の「完全数の日」が間も無く終わる。

 

28といえば、今週月曜日に将棋の公式戦連勝首位タイ記録が29に更新された。

喜ばしさと心寂しさを同時に感じて複雑な心境だったが、神谷八段のお話を耳にし、先のざわつきは静かに収束した。

〈神谷広志 八段のお話〉

28という完全数は一番好きな数字ですので、それが1位でなくなることは個人的に少々寂しいのですが、凡人がほぼ運だけで作った記録を天才が実力で抜いたというのは、将棋界にとってとてもいいことだと思います。

http://www.asahi.com/sp/articles/ASK6V7QH0K6VUCVL03L.html より

 

 また、本日の読売新聞一面〈編集手帳〉も、完全数の話を取り上げていた。

いろいろな人が完全数のことを考えていると知り、嬉しい。そういうわけで、塗り替えられた記録にあやかり、28と29の関係について書いてみる。

 

繰り返し訪れる28桁の塊

直接的な関係ではないが、29の逆数である「1/29(29分の1)」は、28桁の循環小数になっている。

循環小数とは、割り算をしても割り切れず、同じ数の塊が無限に循環し続ける数のことだ。
3人で食事に行き、8000円の会計が割り切れずに端数を多く払う(または払わされる)という経験が、誰しもあるだろう。

 

循環小数の例

具体的には、このような数である。

 

・わかりやすいもの

1/3 = 0.33333... = 0.3(循環節は3)
5/6 = 0.83333... = 0.83(循環節は3)
100/11 = 9.090909... = 9.09(循環節は09) 

 

・複雑なもの

1/7 = 0.142857142857... = 0.142857(循環節は142857) 

例が少ないのは私の知識不足に他ならない

 

複雑なものになると、本当に循環しているのか調べるのも大変だ。

中学生の頃のテストで、問題文が「以下の分数を循環小数に直しなさい」と言い、手計算で求めたうち最も長い循環小数が「1/7」だったと思う。

 

確認のためにやってみた。

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こんなこと、循環小数だと言われなければ初めからやっていない。

たった6桁のでもこんなにややこしい気持ちになってしまうのだ。

おっと、こんなところに完全数の6登場。

 

28桁の循環小数

さて、28と29の話に戻ろう。

29分の1は、小数に直すと、こう表せるらしい。

1/29 = 0.0344827586206896551724137931(循環節は28桁)

 

つまり、この下線部28桁を無限に繰り返す、循環小数であるらしい。

1/29 = 0.03448275862068965517241379310344827586206896551724137931034482758620689655172413793103448275862068965517241379310344827586206896551724137931034482758620689655172413793103448275862068965517241379310344827586206896551724137931...

 

ものすごい迫力と何らかの圧力を感じる。

線の疎密がグラデーションのようできれいだ。
 

循環小数の良さ

無限に循環するから終わりがないけれど、循環小数は必ず分数の形(◯÷△)で表すことができる。

 

そこが循環小数の「気持ち良さ」だと思う。

 

ほんの出来心で「1/29」の箱のふたを開けたばっかりに、28の塊が無限に押し寄せて私の呼吸を妨げた。けれど、ひと暴れしたら彼らはきちんと循環節のところで腰をただんでもとの箱へと帰っていく。

循環小数にはそういう素直さがある。循環少数と分数との相互変換が比較的簡易なことからも伺える。そこが良いと思う。

 

完全数の日」に何をしたか

結局、変わったことは何もしていない。

けれど、資料や議事録や電話の不在表に6月28日と今日の日付を書くのが楽しかった。

口実のおかげで「良い日だった」と思いながら眠れるなら、それが一番だ。

 

まとめ

・29の逆数は、28桁の循環小数である

・無限に続く循環小数は、必ず分数の形で表せる

・29は素数でもあり、ほかにさまざまな性質を持っているが、完全数を用いて29の特別性を感じられたのは嬉しい。

 

28日はもうすぐ終わるけれど、6月はもう少し続く。

完全数をたっぷり味わう梅雨にしよう。

 

ステンドグラス探求|02

ステンドグラスの模写を始めて、すでに7週間ほど経った。

時間が経つのは実に早い。

現在カタチになっている5枚と、描きながら気付いたことや、偶然とは思えない可能性について書きたいと思う。

 

その前に

ノートルダムの見取図がこちら。

入口は右下で、逆さのU字型をなぞるようにステンドグラスがぐるりと設計されている。少し斜めになっているようだ。

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「NOTRE-DAME DE PARIS Le vetrate」©Associátion Maurice de Sully より

超余談)館内のグッズショップにてガイドブックを購入。「フランス語はまったくわからないけどノートルダムをもっと知りたい」と思ってのこと。購入直前、店員さんに「これイタリア語しかないけどダイジョブ?」と聞かれ驚いた。どちらにせよわからないので問題はないが、なぜ母語のガイドブックがないのか。不思議で仕方ない。A5サイズ/20ページ4ユーロ。

 

その前に②

模写の手順は、

・撮った写真から矩形の比率や図形の位置を求める

・1マス5mmの紙に描く

以上。実際の写真(左)と、それを見ながら描いたもの(右)。

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この模写では、縦長の窓の部分だけを取り出している。01の投稿でも触れた、窓上部のアスタリスク(*)のような花型模様の造形にも興味があるけれど、まずは大きな面積を占めている連続のパターンから解読することにした。

ちなみに、植物的な曲線は今回の模写の範囲外とし、もっとも単純な幾何学模様だけを取り出した。まずは基礎的な構成を知る。もちろん、いずれはやりたい。

 

5枚の模写で気付いたこと

これがその5枚。見やすいように上部だけ。

南側の入口に近い方から、S-1、S-2、…と呼んでいる。

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気付いたこと。

・上部のとんがり帽子は窓によって形が異なり、

 S-1とS-2、S-3とS-5の形が類似している。

 →制作者がちがう?

・写真で見るステンドグラスの透過度が明らかに異なる

 →修復時期がちがう?

・S-4だけ曲線のみで構成されている

・S-1だけ星芒形がある(曲線の星のような形)

・S-1だけとんがり帽子の中心に花型模様がない

・S-5だけ花型模様が三種類もある(他は0〜1種類)

・S-1、S-3のひし形は次の段に直線上に続くのに対し、

 S-5のひし形は段ごとに線が途切れている

 

造形についての気付きは多いが、上記の疑問を解決する策はまだない。

けれど、制作者や修復時期による造形への影響は少なからずあるように思う。

 

偶然とは思えないこと

書き留めて置きたいことがもう2つある。 

 ・ひし形を構成している直角三角形の三辺の比が、

 「3:4:5」に近い気がする

・図形が描かれている、枠縁に囲まれた長方形の辺の比が、

 「5:8黄金比」に近い気がする

 

私がそう思いたいだけかもしれないし、パースの狂った写真からの模写では正確な比率は分かりかねるが、もし上記の仮説が正しければ、それぞれの線や図形がなぜそこに位置するかということを説明できるようになる。

 

それはとても美しいことだと感じる。

 

これから

ノートルダム寺院の中で、幾何学模様を用いた ステンドグラスは全部で30枚。5枚目が終わったと喜んでも、まだまだ月曜日である。

 

これからやりたいこと。

その1:模写を30枚完成させる

その2:アスタリスク(*)花型模様に着手

その3:那須ステンドグラス美術館に行く

 

次にパリに行くときは、ノートルダム寺院やステンドグラスのことをもっと知っていたい。

模写が進み、「気付き」が増えた頃に03を投稿する。

 

ステンドグラス探求|01

パリにて

今年の5月、7日間のヨーロッパ旅行のうち3日をパリで過ごした。

目的はオランジュリー美術館だったが、それは初日に無事達成。

翌日、何気なく足を運んだノートルダム寺院(Cathédrale Notre-Dame de Paris)のステンドグラスを見た時、私の五感と全神経が音を立ててこれを「美しい」と感動したがっていた。

 

日本に帰ったら、ノートルダム寺院の30枚以上のステンドグラスを模写しながら、その美しさを考察すると決断した。

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最初の衝撃

きっかけは、ノートルダム寺院の北側の道路を通った時。大きな窓が連なっていて、とんがり帽子の先端の円の中に花型模様が描かれていた。

初めは、アスタリスク(*)のような6枚花弁の形の花に目がいく。しばらくして、別の形の花弁があることに気付いた。さらに、一番奥には花弁すらない。

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わかりにくい気がするので、説明画像を作ってみた。

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「6」や「4」だけでなく、「7」を基にした形があることにも驚きを隠せない。「7」は左右対称(線対称)ではあるけれど、ぐるりと半周回転させたときに重なる「点対称」の性質はないからだ。

点対称を重んじる(と勝手に思っていた)建物の装飾に、突如「7」の登場。

ジャズ音楽を気持ちよく聴いているところに、フラメンコの情熱と汗が飛び跳ねてきたような衝撃だった。

 

ともかく、私はこの中に入らなくてはいけない、と思った。

 

次の衝撃

実は、中に入るまで、先述の窓の内側にステンドグラスが施されているとは考えもしなかった。まして、こんなに壮大な(そして有名な)ステンドグラスがあることも当然知らなかった。

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大きな円の両隅に、ふたつの花形模様がある。が、よく見るとそれらは内側に少しだけ傾いている。

 

「ありえない」と正直思った。「シンメトリーが好きなんじゃないのか!」とひとり勝手に憤慨した。周りの人の視線をたくさん感じたので、多分憤慨中の声も漏れてしまっていたと思う。

 

さて

時間をかけてノートルダム寺院の中を一周したのち、「冷静になろう」と努めた。

出口手前のスペースで、撮りためたステンドグラスの写真を眺める。

ざっくり分けて、2種類のステンドグラスがあった。

図形などの幾何学模様(左)と、人物・植物などの具象物を描いたもの(右)。

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見れば見るほど、幾何学模様のほうに心が惹かれていった。

もともと図形が好きなせいもあるが、モチーフそのものに意味がある具象物よりも、形の精微さに美しさを見出そうとすることに興味を持った。

 

そういう訳で、幾何学模様のステンドグラスの模写を始めることにする。

この投稿はその奮闘記である。

 

ステンドグラス探求|02 に続く。

 

次の「素数の日」はいつだ

今日は、「素数の日」について書きたい。前回の「完全数の日」同様、ここに書いている「◯◯の日」というのは、私が好きなように数とカレンダーを結びつけてストックしているものである。

 

最終的には、カレンダーのすべての日にちに特別な数を結わえたいなと思う。

 

さて

素数を知ったのがいつだったかは思い出せない。学校で習ったのかもしれないけれど、「偶数」「奇数」のような呼び分けとは違い、生活の中の数字をわざわざ「素数」と区別する必要がないのだろう。使わないものから忘れていく。

 

それがいつの間にか、素数を見つけると宝石を発見したような気分になるようになった。

車のナンバープレート、Suicaのチャージ残金、すれ違う少年のTシャツ、カフェでコーヒーを待つ番号、生活をしていると毎日どこかに素数を見る。

 

素数は、「1」と「その数」の掛け算でしか表せない数のこと。1は含まずに、2、3、5、…と続いていく。素数の詳細はここに

  

素数」の魅力

古代から多くの人々が素数に惹かれているけれど、魅力を感じる理由はそれぞれ違うと思う。

私にとっての素数の魅力は、

・どの数が素数になるか予測ができない のに、

・永遠に存在することが証明されている というところ。

 

永遠に続くことが約束されている「素数の日」には、自分がずっと続けていたいと思うことをする。

何か特別なことをする訳ではない。 ドラムを叩いたり、会いたい人に会ったり、何度も見た好きな映画を見たりして過ごすのが幸せだ。その幸せを過ごす日に名前をつけたいのだ。

 

素数の日」とは

カレンダーにある数字のうち、「月」も「日」も素数になる日をそう呼んでいる。

私が考える「素数の日」には、3種類ある。

1、「月」「日」が素数の日

2、「月」「日」「月日」が素数の日

3、「月」「日」「月日」「年月日」が素数の日

 

2017年のカレンダーを使って「素数の日リスト」を作ってみた。

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1、「月」「日」が素数の日(毎年55回)

月 … 2、3、5、7、11(1年に5回)
日 … 2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31(1年に11回)

 

2、「月」「日」「月日」が素数の日(毎年14回)

2月11日、2月23日

3月7日、3月11日、3月13日、3月17日、3月31日

5月3日、5月23日

7月19日

11月3日、11月17日、11月23日、11月29日

 

3、「月」「日」「月日」「年月日」が素数の日

2017年2月23日(20,170,223)

2017年3月31日(20,170,331)

 

1と2は毎年訪れる「素数の日」であり、3はその年の西暦によって日にちが異なる。3の「素数の日」が最も特別だと思う。

 

残念ながら

上記の通り、今年の分の8桁の「素数の日」は終わってしまった。今年の西暦「2,017」も素数なので、2月23日と3月31日はとても特別な素数の日であろう。

ちなみに、当日の日記を確認したら、温かい春の雨に喜びを感じたり、友人のライブを楽しんだりしていた。

 

今年が終わると、次に西暦が素数になるのは2027年。10年後までお預けなので、毎年訪れるほうの「素数の日」を大事に過ごしたい。

 

まとめ

・「素数の日」は毎年14回ある

・永遠に続く「素数」に便乗し、自分がずっと続けたいと思うことをする日

 

次の素数の日は、7月19日(水)。この日は、このブログを更新しようと思う。

 

「素数」の約束

素数」について書きたいことがたくさんある。ありすぎてまとまらない。けれどストックしたいから、分割しながらテンポ良く書き進めたいと思う。 

 

素数」とは何か

全ての整数は、掛け算の形で書き表すことができる。

たとえば「12」と「35」について考える。

12=2×2×3

35=5×7

それぞれ、もとの数より小さい数の掛け算で表せる。

 

ところが、そうでない数字もある。

たとえば、「13」と「37」について考える。

13=1×13

37=1×37

これらは「1」と「もとの数」の掛け算でしか表せない。

これが「素数」である。素数が神秘的かつ魅力的な理由は、ふたつあると思う。

 

素数」は予測できない

2、3、5、…と素数を見つけていく。初めは順調である。二桁くらいまでは確認することもできなくはない。

それでも、九九にない数字はやや難しい。「91」は、一見すると素数に見えるが、「91=7×13」であり、素数ではない。

 

三桁の数に突入すると、101、103、107、109と「四つ子素数」と呼ばれる連続の素数が私を興奮させたかと思えば、113の後は127まで沈黙が続いたりもする。

 

どの数が「素数」になるかを求める法則がないのだ。

 

今はコンピュータで想像もできないほどの大きさの素数が見つかっているが、昔はもちろん手で計算されていた。計算しては「素数一覧表」なるものが出回り、それをみた数学者または村人(数字愛好家)が表の誤りを指摘する、という光景があったのだろう。

A:「つ、ついに素数表ができた」

B:「ここに10,403とあるが、これは101×103で表せるではないか」

A:「ひえぇ」

 

そんな、大きくなるほど発見が難しい「素数」との、唯一の約束が次である。

 

素数」は永遠に存在する

素数」は永遠に存在する。

発見が予測できないのに、無限に発見されることは2500年以上も前から約束されている。そして、その証明は文庫本1ページ分くらいの紙に収まる文量である。なんとシンプル。

 

まとめ

素数は「1」と「その数」の掛け算でしか表せない数のこと

素数は「予測できない」が、「永遠に存在すること」は約束されている

 

これから素数のことについて書くとき、毎回この記事を一番上に載せよう。

次は、「素数の日」について。

 

6月28日は「完全数の日」

ブログを始めた。

好きなものがあふれてきて自分の中に収まりきらなくなったので、ここにストックしていきたい。自己紹介的なものはこちら

 

「誰かに見てもらうことを前提にするのではなく、」と言いながらしっかり人の目を意識した文章になってしまっている。ストックするという考え方にシフトしたことで文章が書きやすくなったものの、書いたからには読んでもらいたい。読んでもらうためにはひととなりがわかったほうがよい。こうやって当初の目的を忘れていくんだなあ。

・・・。

 

さて 

今日は「完全数の日」について書くと決めていた。

6月に入り、先日梅雨入りも発表されている。ゴールデンウィークを過ごした実感も遠くなり、5月病的なもやもやをやり過ごすためにカレンダーを一枚めくる。極めて規則的な黒と赤の数字が30個のマスの中に並ぶ。

6月は、祝日がないのだ。

よく考えると、2016年に「山の日(8月11日)」が施行されてから、6月だけが祝日のない月となった。これを乗り越えるのは至難の技である。

 

しかし私にとって6月は、1年で最も特別で、大切にしたい日がある。

それが「6月28日」。私は「完全数の日」と呼んでいる。

 

年に一度の「完全数の日」

数には、偶数や奇数、約数や倍数、素数、平方数など、法則ごとにさまざまな呼び方がある。

完全数」も数の呼び方の一つである。

そして、6月28日の「6」と「28」は完全数である。英語で言うとperfect number。なんともかっこいい響き。洗練された感じがする。

 

なぜ特別なのか

なぜ、私にとって完全数が特別なのかというと、それは完全数の「少なさ」に由来する。

6、28と順調に現れたかと思えば、3番目の完全数には496まで出会えない。4番目は8,128。5番目は33,550,336。なんてことだ。理解の領域を超えている。

また、無限に存在するかどうか証明されていないということも心を惹かれる理由のひとつかもしれない。

 

「完全」を冠するこの日、私は自分が何をしても自分を認められる気がする。

誰かと会ったりどこかに行ったりして彩りのある一日にすることはもちろんよいけれど、日中を寝て過ごしたり、大きな失敗をしてしまったり、何かをしたと書けることがなくてもいい。

 

何をしてもいいし、何もしなくてもいい日。

 

これが、私の完全数の日の過ごし方である。毎日、何かに追われるように過ごしたり、目標を探しながらもがいていたりすると、自分を鼓舞し続けてどこかで疲れてしまう。

 

祝日のない6月は、そんな自分を一日くらい許してあげよう。そんなふうに思うのだ。

 

完全数」の法則

完全数」とは、ある数の約数の和(合計)がその数にぴったり一致する数のこと。

たとえば「10」について考えてみる。

10の約数は1,2,5,10。

10の約数の合計は、1+2+5=8なので、10に一致しない。

※約数のうち、もとの数(ここでは 10)は数えない。ちなみに、10のように約数の合計がもとの数より小さければ「不足数」、大きければ「過剰数」といい、全ての数はこの「不足数」「過剰数」「完全数」のどれかで表せる。

 

この方法で、「6」と「28」が完全数であると言える。

 6=1+2+3

 28=1+2+4+7+14

 

法則はやや複雑だけれども、この約数を使う方法によって名付けられた数字は結構ある。

完全数のほか、「不足数」「過剰数」「友愛数」「社交数」など。このうちの、「友愛数」についてはいつか書きたいと思っている。

 

完全数」が特別なもうひとつの理由

先の方法によって完全数は求められるが、完全数を表せる等式が他にもある。

それは、1,2,3...と連続する整数の和(合計)で表す方法。

 

 「6」については明快。

6=1+2+3

 

「28」はどうか。

28=1+2+4+7+14(約数)

28=1+2+3+4+5+6+7(連続する整数)

  

ちなみに、

496 → 1から31 までの整数の和

8,128 → 1 から127 までの整数の和

33,550,336 → 1から8,191 までの整数の和(ひえぇ)

 

と表すことができる。

何が言いたいかというと、名前の付いた数字は、当初の定義から派生していろいろな法則を持っている場合が多いということ。

今回は割愛するけれど、三角数や六角数、連続する奇数の立法和などなどなど。

 

それらの法則、数同士の共通点のようなものを見つけるほど、特別感が増すように思う

 

まとめ

・6月28日は「完全数の日」

完全数と呼ばれる数字は少なく、無限に存在するかどうかわからない

・年に一度の完全数の日は、何をしても(何もしなくても)自分を許してあげる日

 

今年の完全数の日、2017年6月28日(水)は平日なので仕事がある。

けれども、特別感に浸りながら穏やかに過ごす一日にしたいなと思う。