唯一の「26」
通知をオフにしたFacebookに誕生日のお祝いをいただき、数日遅れでとても嬉しいきもちになった。
26本のろうそくが乗っているケーキは頭の中にしかないけれど、おいしいパスタやサラダ、デザートをほおばりながら、「おお、四半世紀を生きたのか」などとこれまでとは違う味わい方をした。
年齢と数字
誕生日ケーキのろうそく（概念）のことを考える時と、
毎年の節分で我が家に自然発生する「豆」の粒を数える時、
「年齢」と「数字」がぴたりとむすびつく。
だから、年を重ねるたび、その数字について調べるようにしている。
初手はなんといっても素因数分解だ。
26 = 2 × 13
ふたつの数字の積、つまり「素数 × 素数」で表される数を「半素数」という。
だから 26 も半素数だ。
素数は無限に存在することが証明されているから、半素数も無限に存在する。
だから、これといって特別な性質ではない。
ただ、素数ではない数字に「◯素数」と名付ける数学者（または名付け親）の素数愛をいとおしく思い、
半素数に会うたび「ここにもいたよ」と教えたい気持ちになる。
数字について調べるときは、何かその数字だけの、またはそれに近い性質を探すようにしている。
「26」だけの性質
26 は、ご覧の通り、25 と 27 に挟(はさ)まれた数字である。
それぞれの数字について、以下のように書くことができる。
25 = 5 × 5 = 5²
27= 3 × 3 × 3 = 3³
25のように、同じ数を2回かけて表される数を「平方数」、
27のように、同じ数を3回かけて表される数を「立方数」という。
よって、26は「平方数」と「立方数」に挟まれた数である、とも言える。
そして、そういう自然数はこの「26」たったひとつなのだそうだ。
残念ながらその証明は見つけられなかったけれど。
26 = 25 + 1 = 5² + 1
26 = 27 - 1 = 3³ - 1
「たったひとつ」がほんとうかどうか、少し探ってみた。
平方数は小さいものから順に、
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121
（「1」〜「11」の平方数）
立方数は小さいものから順に、
1, 8, 27, 64, 125
（「1」〜「5」の立方数）
ここで、例えば11の平方数（121）と5の立方数（125）は差が4まで近づいている。
これを万とか億とかまで考えれば、どこかでまた平方数と立方数に挟まれた自然数がありそうなものだけれど、ないという。
唯一の「26」。
四半世紀の「25」と、待ち受ける「27クラブ」の間の年である「26」を、まっとうしたいと思う。
「26」の面からなる立体
8つの正三角形と18の正方形を組み合わせてできる図形がある。
出典：https://en.wikipedia.org/wiki/菱形立方八面体
図形の名前を「菱形立方八面体 (Rhombicuboctahedron)」というのだそうだが、まるで覚えられそうにない。
ただ、上記出典には立体・断面図・回転図など面白い資料がたくさんあるのでときどき思い出して眺めたい。
おそらくだが、接する面同士の角がすべて45°をなすと思う。おそらくだが、とてもバランスのとれた美しい立体だと思う。おそらくだが。
（＊訂正：「45°」ではなく「135°」と書いたほうが正しそう）
年を重ねる楽しみ
今年32歳を迎える友人（まだ31歳）と年齢の話になった時、思いつきでこう言ったら、発想を面白がってもらい、とても嬉しそうにしてくれたことが私自身のことも嬉しくさせた。
「32歳、16進数でいったらハタチだね」
日ごろ私たちが使う数は、0から9までの10種類の数字を使う「10進数」である。
それにA〜Fを加えた16種類の文字を使うのが「16進数」である。
10進数の世界の「32」は、16進数の世界では「20」と表されるので「ハタチ」と表現したのが、彼には小気味よいジョークとして響いたようだった。
数字が楽しみになることで、その年齢が楽しみになることがあると思う。
そういうふうに考えたのは23歳を迎える時だっただろうか。
20代で最初の素数だからだ。
それ以降、以下のように興味が続いている。
24（過剰数）
25（平方数）
26（上記の通り）
27（立方数）
30（最初の3つの素数の積）
*リンクは過去に書いた記事
これを書きながら、自分自身に対する31歳以降への興味を失わないよう、数字のことを考え続けたいと思った。
32歳に二度目のハタチ、40歳に三度目のハタチ（ダブルハタチ?）が待っていると思うのも楽しい。
つづく
「26」にはもう少し面白い性質が隠れているようだったけれど、今回はここまでにしようと思う。プレートの上の好きな食べ物は最後まで取っておく派だ。
思い出したら、また書きたい。
4月から新しい仕事に就く。
みなさん（と私）の生活が、穏やかなものでありますように。
2月20日の「友愛数の日」に空想したこと
今年も友愛数について考えていた。
ちょうど一年前に書いた類似タイトルの記事を読み返したら、それなりに納得できる形に収まって特に言い足す必要がなかったので、今回は少し方向性を変えて書いてみる。
友愛数から連想する、もの、こと、ひと、などについて。
友愛数ってなんだっけ、という方は、
ぜひこちらをご覧になってみてくださいませね。
楽しく書きました。
①郵便番号からの空想
友愛数のもっとも小さな組み合わせは、220と284。
それぞれ、以下の場所を示す郵便番号である。
適度な遠さがくすぐったい距離間。
「都内の学校を卒業したあとそれぞれの地で働き三週間に一度だけ会う恋人」や
「自分の背中より大きなリュックサックを背負い一人で祖父母に会いに行く孫」や
「青い総武横須賀線にゆられて目的の地まで眠っていたら反対方向に着いてしまって焦る人」などが想像される。
②日付からの空想
たとえば、年始（1月1日）から数えて220日目は8月8日、284日目は10月11日である（閏年なら一日前倒し）。
良い機会なので自分の誕生日から数えて220日目と284日目を考えてみようと思い立ち、思いがけない気付きがあった。
3月5日（年始から数えて64日目）から数えて220日目ということは、
（64+220）日目を求めることになるのだけれども・・・
64 + 220 = 284
自分の誕生日に友愛数の220を足したら友愛数の片割れの284が現れるなんて知らなかった。もう興奮がとまらない。空想とかどうでもよくなるくらい（失礼）感動している。
すなわち、3月5日から数えて220日目と年始から数えて284日目は同じ日を表すことになる（10月11日。閏年をのぞく）。
この気付きに対する喜びだけで生きてゆける気さえする。
ややこしくなったが、まとめるとこうである。
1月1日から数えて220日目は8月8日、284日目は10月11日
3月5日から数えて220日目は10月11日、284日目は12月14日
自分の誕生日を祝ったり祝われたりするのは苦手だけれど、
人の誕生日に感謝するような心づもりで、数的な理由付けをした日付にお祝いごとをするのは心地よい感じがする。
③国道からの空想
二つの友愛数は、国道の路線番号にも用いられる。
・国道220号線：
宮崎県宮崎市から日南(にちなん)市や鹿屋(かのや)市を経由して鹿児島県霧島市に至る国道
・国道284号線：
国道は、路線番号を用いて国道1号から507号までが指定されていそうだ。
ただし、昭和40年に「一級国道」「二級国道」という区分名称が廃止されて「一般国道」と統一された過程で、59-100までの数字は欠番となり、実在するのは459路線だとか。
とある二人が岩手県と宮崎県からそれぞれの国道を通って中間点で落ち合うという空想にしか至らない私の想像力、もうすこしがんばれ。。
さて
次の項目へ行く前に、十組目までの友愛数の組を書いてみる。
一組目 (220, 284)
二組目 (1184, 1210)
三組目 (2620, 2924)
四組目 (5020, 5564)
五組目 (6232, 6368)
六組目 (10744, 10856)
七組目 (12285, 14595)
八組目 (17296, 18416)
九組目 (63020, 76084)
十組目 (66928, 66992)＊素数同様、頻繁に現れたり突然ペアが見つからなくなったりする。
④料金からの空想
- 220円～284円で行ける場所
タクシーには乗れないけど電車やバスには乗れる。都営浅草線なら5～15km、東京メトロなら7～27kmという具合。
- 1,184円では足りないけれど1,210円なら買えるもの
税抜1,100円～1,120円のもの。今日のランチがちょうど1,100円だった。
- 2,620円では足りないけれど2,924円なら買えるもの
折坂悠太さんのアルバム『平成』。税抜2,500円、税込2,700円。
平成のうちに購入できてよかった。音源をディスクで購入すると、聴覚以外の知覚機能、特に触覚や視覚、まれに嗅覚を以って音楽を楽しむことができる。
ところで、税抜の金額に消費税8%を足してもなおぴたりと整数になる数字が私はすきだ。しかも上記の数字（2500 + 税 = 2700）は両者とも下2桁が00となり見た目にもとても美しい。
- 5,020円と5,564円の比較
この金額の差544円による違いが思い浮かばない。友愛数は、ペア同士の数が大きく離れていないことが多い。よって数字が大きくなるほど、友愛数同士の差の割合は小さくなる。料金からの空想は、面白くなる余地があると思ったけれども、ややネタ切れ感があるのでここまでに。
⑤西暦からの空想
西暦220年と西暦284年は、それぞれ閏年。次の閏年は2020年。
4年に1度しかない2月29日のことを考えるたびに不思議なとしかいえないような気持ちになる。
②奇数からの空想
「潔く割り切れる偶数がすき」という方は少なくないと思うが、それと同じくらい、
「割り切れないから奇数がすき」という方もいることだろう。
縁起のよい数字として奇数が挙がることもある。
友愛数は現在、偶数同士または奇数同士の組み合わせのみ発見されており、「偶数と奇数」の組み合わせは発見されず、その有無も証明されていない。
また、圧倒的に偶数同士の組み合わせが多く、奇数同士の組が初めて登場するのは7組目。
12285 と 14595
奇数とはいえ、上記のように一の位が「5」の数字は、偶数よりもさらに「潔く割り切れる」気がするから不思議だ。反対に、一の位が「1」「3」「7」「9」になると素数の可能性もあるミステリアスな香りがしてくるだろう。
そのまま数字界のミステリーに迷い込みそうだ。
おわりに
今日は数字の組み合わせから空想できることを書いてみた。
一番好きなのは、「青い総武横須賀線にゆられて目的の地まで眠っていたら反対方向に着いてしまって焦る人」。
この記事を読んで思い付いたことなどがあったら、ぜひ教えてください。
引き続きゆるやかに空想を続けてゆきます。
1月7日は「巡回数の日」
久しぶりに日付の話。
スラッシュを用いて日付を書くと、
1月は必ず「分子が1の分数」が登場するのがとても興味深い。
本日1月7日は、1/7（7分の1）について書いてみる。
そのまえに
実は以前にも、1/7（7分の1）について一瞬触れていた。
「循環少数」について書いたときのこと。以下抜粋。
▼循環小数とは
・割り算をしても割り切れず、同じ数の塊が無限に循環し続ける数のこと
▼循環少数の例
・わかりやすいもの
1/3 = 0.33333... = 0.3（循環節は3）
5/6 = 0.83333... = 0.83（循環節は3）
100/11 = 9.090909... = 9.09（循環節は09）・複雑なもの
1/7 = 0.142857142857... = 0.142857（循環節は142857） ←ここ
今日話題にしたいのは、この1/7（7分の1）の循環節「142857」についてである。
これまでメインで話題にした数字の中で最も大きい6桁の数である。淡々と書いているが、興奮している。
数学のお兄さん
いつも心の中でお世話になっている 横山明日希さん という方が、こんなことを書いていた。
＊直接的な交流もオンラインでのやりとりもなく、「歩くマスペディア」的存在として、一方的に、勝手に、心がお世話になっている。
本日は1/7ですね！おはようございます。
— 横山 明日希 -新メンバー募集中- (@asunokibou) 2019年1月7日
1/7=0.142857142857...となりますので、「142857」の雑学を紹介します！ pic.twitter.com/O4INc0VZtE
いつも、“教科書”というよりは“新聞の端の4コマ漫画”のような立ち位置で、日常に軽々と数の世界の面白さをもたらしてくれる、数学のお兄さんならではの視点である。
この、「142857」と「9が連なる数」との関係に、私の心は打ちのめされてしまった。
11連休明け初出勤の昼休みに。
さて
上記の横山明日希さんの提示に言及するだけの知識を持っていないのだけれども、
「142857」の凄みを強調する特性が他にもあることは、Wikipediaを通して知っていた。
それが、今日書きたい「巡回数」である。
巡回数とは
巡回数とは、2倍、3倍、4倍...と乗算したときに、その各桁の数を順序を崩さずに巡回させた数になる整数のことをいう。
具体的にはこうである。
142857 × 1 = 142857（142857）
142857 × 2 = 285714（285714）
142857 × 3 = 428571（428571）
142857 × 4 = 571428（571428）
142857 × 5 = 714285（714285）
142857 × 6 = 857142（857142）
→「142857」という数字について2倍、3倍...と乗算をすると、それぞれの答えが「142857」を巡回させた数になっている。
＊（）は、数の巡回の様子を色の濃淡の違いで図示したもの
このように、乗算を繰り返した時、答えが元の数の数字を巡回する数のことである。視覚的にとても美しいと思う。
シャンプーのCMに出てくるような長い髪の女性が、亜麻色のそれをなびかせて振り返り、「きれいでしょう？」と目配せしかねない美しさである。
さらに、こう並び変えれば潤いのある髪の毛の艶がより眩しい。
142857 × 1 = 142857（142857）
142857 × 5 = 714285（714285）
142857 × 4 = 571428（571428）
142857 × 6 = 857142（857142）
142857 × 2 = 285714（285714）
142857 × 3 = 428571（428571）
ところで、先ほどの画像を思い出していただきたい。
横山明日希さんによると、
142857 × 7 = 999999
である。
すなわち、こうなる。
142857 × 1 = 142857（142857）
142857 × 2 = 285714（285714）
142857 × 3 = 428571（428571）
142857 × 4 = 571428（571428）
142857 × 5 = 714285（714285）
142857 × 6 = 857142（857142）
142857 × 7 = 999999 ！？！？！？
7を掛けた際の異質さが際立つ。
これは、「1.0 ÷ 7.0」が循環小数（0.142857）になり、
「0.142857 × 7.0」が0.9（=0.999... = 1.0）になることに関連するそうだ。
本当は異質でも異常でもないのだが、あえてそう書いてみた。
さらに、さらに面白いことに、
8以降崩れてしまうように思える特性だが、規則的に加工することで巡回は保たれる。
規則：
先頭の数を切り離し、末尾の数(一の位)に加える。
142857 × 8 = 1142856 → 1 + 142856 → 142857
142857 × 9 = 1285713 → 1 + 285713 → 285714
142857 × 10 = 1428570 → 1 + 428570 → 428571
142857 × 11 = 1571427 → 1 + 571427 → 571428
142857 × 12 = 1714284 → 1 + 714284 → 714285
142857 × 13 = 1857141 → 1 + 857141 → 857142
142857 × 14 = 1999998 → 1 + 999998 → 999999
142857 × 15 = 2142855 → 2 + 142855 → 142857
142857 × 16 = 2285712 → 2 + 285712 → 285714
また彼女の美しい髪がなびくのが見える。
うつくしいもの
唐突に問いが浮かぶ。美しいものは、異常か、それとも異質か。
そもそもその二択ではないだろうということもわかりつつ。
「異常（正常でない、普通でない）」はどちらかというと外面や物理的な存在を、
「異質（性質が異なる）」は内面や抽象的な存在を表している気がする。
そういう点で、美しさについて考えるときは、同時にその「異質さ」について考えているように思う。
この考え方をするようになったのは、人生で初めて同じ映画のために3度劇場に足を運んだ、『言の葉の庭』（2013年）による。
正確にはその翌年に出版された小説版にて、このような文章があった。
洒落た制服に身を包んだ雪野はもちろん飛び抜けた美少女（略）だったが、そういう役割のようなものを帯びることで彼女の美しさはようやく落ちつき先を見つけたのだ。「すげえ美人がおるらしいぜ」と家から自転車と汽車とさらにもう一台自転車を乗り継いで通う進学校では噂にはなったが、その美しさは単に異質なだけでありもう異常ではなかった。
言の葉の庭｜新海誠著 ｜KADOKAWA/メディアファクトリー｜44頁
何かについて考えるとき、別の何かに倣って（その筋をたどるように）考えることは、その思考を補助してくれるように思う。
つまり、4年前に出会って何度か読み返し心に留めたこの文章が、今の私の思考を手伝ってくれている。
話をもどす
この「巡回数」、英語では「Cyclic Number」と綴られる。
私は「Cyclic」から「循環」を連想するが、恐らく「循環少数」との混同を避けるために「循環」ではなく「巡回」と名付けられたと思われる。
ただし「ダイヤル数」と呼ばれることもあるそうで、こちらのほうが数の性質をイメージしやすいとも思う。
2019年1月7日(月)は、眼鏡をどこに置いたか忘れたり、ココアを取りに行ったのに塩を持って戻ったり、本を開いたのにラジオに聞き入ったり、どこかぐるぐるとした一日だった。
けれども、それが巡回数の日に起こったことならば、面白がれる。
まとめ
・1月7日は「巡回数の日」
・「142857」は「巡回数」で、乗算すると各位の桁が順序を崩さずに巡回する
・上手くいかないことも解釈を変えて面白が（れ）る（と思うことにする）日
昭和最後の日でもあるこの日、巡る時間や時代にも心を傾ける。
12月にいろいろな「12」を思う
昨年書こうとして書ききれなかった〈12〉について、書いてみる。
ちょうど一年前、初めて自分の作品を展示するきっかけとなったのがこの〈12〉だ。
展示会期中にこの記事を書き上げる想定だったものの、
思い入れというか思い込みというかが強すぎたために更新できなかった。
けれどもとても大切な数字で、タイミングよりも残すことのほうが大事と、一年越しに書き始めた。
これまで書いた中で最も長い文章になったため、目次をつけてみる。
- ① 日常にある12
- ② 数の数え方としての12
- ③ 一音節で一番大きな数の12
- ④ 約数が多い12
- ⑤ 約数の個数と和が特別な12
- ⑥ 3と4から生まれる12
- ⑦ 私についての12
- まとめ（および抱負）
- 次回の展示会
① 日常にある12
生活の中で身近に感じられる12について考えてみる。
たとえば、時計の文字盤
たとえば、一年の月の数
たとえば、十二星座
たとえば、十二支
たとえば、1ダースのチョコレート
たとえば、平均律での1オクターブの音の数
身近なところに12があるのはただの偶然ではなく、
12の特性によって生活に根ざした、という側面があるはず。
ただ、この投稿でそれらを探求・解明していこうというのではない。
書くことによって思考を整理し、伝えたいことを感じ取ってもらう、委ねまくりの3900字。
② 数の数え方としての12
古代、ものを数える際に、10本の手指を折り曲げて数える十進法（現代の方法）のほか、人差し指から小指までの12個の節を親指で数える十二進法の考え方があったそう。
英語やドイツ語などゲルマン語派の数詞は、10から19までの数のうち11,12と13以降とで構成が異なり、それを十二進法の影響とする説がある。
英語 ドイツ語 スウェーデン語 10 ten zehn tio 11 eleven elf elva 12 twelve zwölf tolv 13 thirteen dreizehn tretton 14 fourteen vierzehn fjorton 出典｜Wikipedia
③ 一音節で一番大きな数の12
上記に関連して言えるのが、音節についてである。
英語を用いて数詞の音節を表記すると、以下の通りだ。
一音節* 一音節 二音節 1 one 7 seven 13 thir•teen 2 two 8 eight 14 four•teen 3 three 9 nine 15 fif•teen 4 four 10 ten 20 twen•ty 5 five 11 eleven 100 hun•dred 6 six 12 twelve 1000 thou•sand *「音節」とは、音声の聞こえのまとまりに合わせて一つの単語を区切る単位のこと
上記より、一音節で一番大きな数は12となる。
この音節単位の考え方を、私はしたことがなかったのだが、あるときテレビ「スーパープレゼンテーション」でTEDに登壇していたJoe Smith氏の「紙タオルの正しい使い方」という回を見たおかげでこのことを知った。
濡れた手を紙タオルで拭く前に、手を振って水分を飛ばすことで紙タオル1枚で十分拭き取れるという主張のもと、これから実践をしてみるという文脈で、
Smith 氏
「手を濡らします」
「振ります」
「1, 2, 3, ..., 11, 12」
「なぜ12回かって？」
「キリストの使途 イスラエルの支族」
「月も 星座も 12個あって 私がこの数字を気に入っているからです」
「1音節で最も大きな数ですしね」(It's the biggest number with one syllable.)
出典｜ジョー・スミス「紙タオルの正しい使い方」 | TED Talk (動画：4分25秒)
というのが彼の12に対する心である。
彼のおかげで、なにかをすきな理由は自分の中にだけあればそれでよいのだと思えた。
この映像の観客が、同じ理由で12を好きにならなかったとしても、彼が12を好きであることは感じられるだろう。それでよいのだろう。
④ 約数が多い12
九九の表を見てみる。
この表の中で同じ数が4回登場するのは、12のほかには18と24がある。
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 | 14 | 16 | 18 |
| 3 | 6 | 9 | 12 | 15 | 18 | 21 | 24 | 27 |
| 4 | 8 | 12 | 16 | 20 | 24 | 28 | 32 | 36 |
| 5 | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 | 35 | 40 | 45 |
| 6 | 12 | 18 | 24 | 30 | 36 | 42 | 48 | 54 |
| 7 | 14 | 21 | 28 | 35 | 42 | 49 | 56 | 63 |
| 8 | 16 | 24 | 32 | 40 | 48 | 56 | 64 | 72 |
| 9 | 18 | 27 | 36 | 45 | 54 | 63 | 72 | 81 |
色付き箇所が反比例の線を思わせて美しい
これら3つの数は「過剰数」と呼ぶことができる。
過剰数とは、簡単にいうと、約数がたくさんある数。
ややこしくいうと、約数の和がその数より大きくなる数のこと。
12の約数：1, 2, 3, 4, 6, 12
12を除いた約数の和：1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16 ←12より大きいので過剰数
*18, 24も同様
約数が多いということは、たとえば分配の際に都合がいい。
1ダースのチョコを2人、3人、4人、6人で等分することができる。
ギフト用のお菓子の詰め合わせも、12個、24個、36個と12の倍数が用いられるのを良く目にするのは同じ理由だろう。
⑤ 約数の個数と和が特別な12
先述の12の約数には、まだ性質がある。
それは、「約数の個数」も「約数の和」も完全数になるというもの。
「12」
12の約数の個数：1, 2, 3, 4, 6, 12 →6個
12を含む約数の和：1 + 2 + 3 + 4 + 6 +12 = 28
このような数を、「サブライム数」と呼ぶそう。
12の次にこの性質を持つのは76桁の数字で、現在知られているのはこの2つの数のみとのこと。
「6086555670238378989670371734243169622657830773351885970528324860512791691264」（76桁）
約数の個数：8128個
約数の和：(2^127-1)×2^126 で表せる数（元の数よりもかなり大きい）
膨大だ。
膨大すぎて手に負えないのだけれど、だからこそ12の特別性として紹介したかった。
ちなみに"sublime"は、「荘厳な」「崇高な」「雄大な」という意味を表す英単語で、完全数同様、無数に存在するかどうかは知られていない。
⑥ 3と4から生まれる12
最後の項目である。
ご存知の通り、3と4を乗算すると12となる。
3 x 4 = 12
では、三角形と四角形から十二角形を作ることができると知っている方は、どれほどいるだろう。
ある日、罫線の変わりにドットが等間隔で施された手帳の上でドットを線で結び遊んでいた。三角と四角とを規則的に並べると、円のような図形が構成されたことに気づいた。
2017年8月20日の日記より
「時計」という大発明の恩恵を受けておきながら、私はそれまで十二角形について考えたことはほとんどなかった。
「ほとんど」というのは、高校3年の頃、唯一解くことができた東大過去問『円周率が3.05より大きいことを証明せよ（2003年）』のために用いたのが、正十二角形であった。ほんとうは正八角形を使えば解けるのに、ずいぶんと遠回りをしたなと思いつつ、自力で解くことができたのはほんとうに嬉しかった。
なんだか脚注が長くなってきた。
正十二角形についての印象は、ほとんど円のようで、1つの角も大きく（150度）鈍角に開き、とっつきにくい印象があったのだ。
その、複雑そうに見える図形が、ラクガキから生まれた偶然の産物によって、三角形（正三角形）と四角形（正方形）というシンプルな図形のみで構成されていると分かり、歓喜した。
手書きのスケッチをベースに線画データ作成
複雑に見えるものが、実はシンプルなものの組み合わせであった。
「分けるは分かる」という信念が結ばれた気がした。
その気付きが嬉しく、さらに多くの構造を考えることになる。
⑦ 私についての12
先のようにして、十二角形に魅力を感じた私はそれを軸にスケッチを始めた。
ところで、私が描くこれらの十二角形は、正十二角形ではない。
正十二角形（左）と私が描く図形（右）の比較。
下段の「図形の種類」では、使用する図形の形と個数を記したのだが、見返したら三角形の個数に誤りがあった。「6」個ではなく「12」個である（2019年2月5日追記）。
正十二角形とは、「すべての辺の長さ」と「すべての角度の大きさ」がそれぞれ等しい十二角形のこと。
私のスケッチの中の十二角形は、辺の長さも、角の大きさも異なる。
なぜこの変形十二角形を用いるかというと、内部を図形で敷き詰める際に三角形1種類と正方形を2種類とを使うことになる。
これにより図形そのものにリズムが生まれ、〈タテ〉〈ヨコ〉と向きを変えることでさらに表現のバリエーションが増えると考えた。
上記を経て、数種類の構造を元に制作を始めたのが去年の10月。
今月はホームページやFacebookページを作り、情報を発信し（たいと強く思っ）ているので、よかったらご覧ください。
▼ ホームページ
12月のうちに書きたいと思っていたけれど、「せっかくなら完全数の28日に！」と思い至り、更新が間に合ってよかった。
まとめ（および抱負）
・7つの視点から12について書いた。
・自分のすきなものを相手にもすきになってもらう必要はないけれど、なぜすきかは伝えられるようにしたい。
・2019年は思考と発表の年にしたい（展示会2件＋αにて）。
このフワッとした抱負でよいのか私、と問い、よい、と返ってきたのでよしとする。
次回の展示会
Dimension 2019（HPへ遷移します）
会期｜2019. 03. 11 [月] - 03. 16 [土]
時間｜12:30 - 19:30 ＊最終日は17:00まで
入場｜無料
会場｜Gallery ART POINT
住所｜東京都中央区銀座 1-22-12 藤和銀座一丁目ビル 6F
＊「新富町駅」「銀座一丁目駅」「東銀座駅」「銀座駅」より徒歩数分
悩みのタネ〈解決編〉｜線対称と点対称
以前、こういう記事を書いた。
>一緒に悩んでくれる方はこちら（↑）から、
問いと答えを一気にという方はこのまま以下（↓）へ。
読み返すとあまりまとまっておらず、
まあ悩んでいるので仕方が無いとも思いつつ、
悩みの概要は以下の2点である。
①このような図形を呼び分ける名称はあるか②「線対称かつ点対称な図形」を表す名称はあるか
結論
この時点での私の結論は、こうである。
①このような図形を呼び分ける名称はあるか⇒「ある」と言えそう。②「線対称かつ点対称な図形」を表す名称はあるか⇒結論としては「ない」のだが、代わりに新しい名称を知った。
まず
まず②について書いてみる。
そもそも「線対称」とは、ある直線を軸に図形を反転させたとき、ぴたりと重なる図形をいい、
また「点対称」とは、ある点を中心に図形を180度回転させたとき、ぴたりと重なる図形をいう。
「線対称かつ点対称な図形」には以下のいずれも該当するのだが、
各図形の個性をより厳密に表せる名称を知りたかった。
別称が存在
解決の鍵は「点対称」のほうにあった。
「点対称」の別称で「二回対称」という呼び方があることがわかった。
180度回転を2回繰り返したら図形がもとの位置に戻ってくるからだろう。
ならば、図形を90度ずつ回転させて毎回重なるとき、
その図形は「4回」でもとの位置に戻るので「四回対称」と呼ぶことができる。
さらに、図形を60度ずつ回転させて毎回重なるとき、
その図形は「六回対称」と呼ぶことができる。
「線対称かつ点対称な図形」を表す名称は見つからなかったものの、
「線対称かつ四回対称」「線対称かつ六回対称」などと呼ぶことで図形の個性をより詳しく表すことはできそう。
一つの問いからさまざまな条件に対応する答えを得ることができ、私は嬉しい。
もう一つの悩みのタネ
さて、悩みはもう一つあった。
このような図形を呼び分ける名称はあるか 、という問い。
実は、すでに記事の中で触れていた。
Wikipediaによると、おなじみの形「五芒星」については、「五芒星」「逆五芒星」のように正式に呼び分けられているらしい。五芒星が長さの等しい5本の線分で描かれるのに対し、その輪郭をたどったような形の「星型正五角形」も、「星型正五角形」「逆星型正五角形」のように呼び分けられるかもしれない。「逆」をつけるかつけないかで呼び分けをする、実に明快な図形群だと思う。
答えのほど近くにいながらそれに気がつけなかったらしい。
「逆」という考え
考えてみれば、「三角形」も頂点の一つが下に向いている形のものを「逆三角形」と呼んだりする。
奇数角形であれば頂点の向かいは辺になり「逆」のイメージがつきやすい反面、
偶数角形であれば頂点の向かいが頂点になり、イメージできなかった。
正式名称かどうかはさておき、
図形の下方が水平線の場合は通常の名称、
図形の下方が角の場合は頭に「逆」を加えた名称で呼びたいと思う。
「分ける」は「分かる」
以上、この悩みは収束。
悩みのタネのほうを書いたときは解決編をかけるとは思わなかったので嬉しい。
まだ「逆六角形」と呼ぶには違和感があるけれども、俗称であるーーというか私が私に説明するときにしか使えないーーのでよしとしよう。
分からないことがあるとき、
「自分が分かっていないことは何か」と
「その分かっていないことをカテゴリわけできるか」について考えると、
頭が整頓され解決までの道のりが早いことに気づく。
これを大学生のころ父に話すと、
「『分ける』は『分かる』だよね」と返事をもらった。
ああ確かにそうであるなあと納得し、分からないことがあるときはこれを思い出し整頓するようにしている。
次は何について考えよう。
まとめ
・「点対称」な図形を「四回対称」「六回対称」などより詳細に呼び分けることができる。
・四角（□）と四角（◇）のように相似形だが描写のことなる図形を「四角形」「逆四角形」などとして区別してみる（ことにする）。
オセローのロゴタイプにたいそう魅了された話
ほぼ毎日通る駅に、異彩を放つポスターがある。
見かけるようになってからひと月ほど経とうとしているのに全然飽きない、それどころか毎回見つめてしまう。
新橋演舞場で公開中の「オセロー」のポスターである。
出典｜https://www.shochiku.co.jp/play/schedules/detail/2018_othello/
最初に目に入ったのは、褐色の肌のおそらくオセローと思われる男でも、檀れいさんの美貌でも、役者陣の顔や名前でも、ましてや音楽：松任谷正隆の部分でもなく、
鎖のように連なるカタカナとアルファベットが、不穏な空気を放っている。
ビジュアルとこのロゴタイプとがお互いをより妖しく、魅惑的にしていると感じてしまう。
もうずっと目が離せなくなって、毎朝駅で見かけるだけでは飽き足らず、松竹さんのサイトに訪れ他のバージョンのビジュアルなど調べ始める。
すると、あろうことか、横組みのロゴタイプが現れた。
出典｜https://www.shochiku.co.jp/play/schedules/detail/2018_othello/
これまた目の離せぬ、息を飲む組み合わせである。
こういう組み合わせや構造をなんと表すかと考えて、「タイポグラフィ」でも「文字組み」でもなく「アーキテクチャ」というのが一番しっくりきた。
で、自分の中でふつふつと煮えくり返って蒸発しそうなこの美しさをいかにかして蒸発させずに味わい堪能するかを考えて、自分で作ってみるに至った。
百聞は一見にしかずである。
手を動かす
実際に手を動かして、まず、見ているだけのときよりも興奮が増幅した。
以下、私がこのロゴを愛でるだけのセクション。
01｜フォント(カタカナ)
同じフォントを持っていなかったため「似ている」フォントを探すところから。
私が使ったカタカナは、小塚明朝B。
小塚明朝Bについて気付いたこと：
・小さい文字や長い文章には向かないけれど、ロゴとしては強い存在感を持っている
・自分自身がB(=Bold、太字)をあまり使わない(おそらく、前述の強い存在感を扱う術を自分持っていないと感じている)
02｜フォント(アルファベット)
私が使ったアルファベットは、Charter Roman。
こちらも同じフォントを持っておらず、
オリジナルロゴはもう少し太いとわかるものの、
太さがちょうどよいフォントはタイプフェイス(書体、文字の形)が違っていた。
フォントリストを何往復も見て、このCharterに落ち着いた。
Charter Romanについて気付いたこと：
・起筆が角ばっている
・文字のコントラストが低い（=太いところと細いところの差が小さい）→これがオリジナルロゴと大きく違う点
・垂直線を意識している？（「t」の1画目や「e」の水平線から曲線に変わる角の部分の直線部分の長さが気になる）
03｜文字間
・オリジナルロゴのカタカナは、太字の存在感に加え、文字同士の間の距離が極端にツメてある。
これが、ロゴの圧迫感や威圧感を強めているように思う。
・対してアルファベットは、たっぷりとした曲線やセリフの形に優雅さを感じる反面、
垂直線の太さと水平線の細さの差に芯の強さと繊細さの二面性を感じた。
・さながら、カタカナの「強い存在感」「圧迫感」「威圧感」がオセロー自身を、
アルファベットの「優雅さ」「芯の強さ」「繊細さ」が檀れいさん扮する女性を思わせる。
※ちなみにオセローの物語はあらすじさえも知りませんが、お許しを。。
文章と画像が遠くなってきたので再度添付。既出画像と同じもの。
04｜カタカナとアルファベットのアーキテクチャ
・タテ組は、カタカナがアルファベットより15%ほど大きい。
・ヨコ組は、同じ大きさに見えるようカタカナがアルファベットよりもほんの少し小さく調整されている。
・長音記号「ー」は、タテヨコともにかなり長めに手が加えられている様子（もしくはそういうフォントを用いたか）。
・その長音記号に絡まる小文字「o」が、絶妙。
・いや、小文字「o」を長音記号「ー」が貫いていると表現する方が正確かもしれない。
・タテ組で、カタカナ「オ」と小文字「t」、カタカナ「ロ」と2つめの小文字「l」が線を共有しているのがけなげ。
・ヨコ組で、「オ と O」、「セ と th」、「ロ と l」の同じ音同士がお互いを共有しているのがたまらない。
制作者の方がこの表現にゆきついたとき、さぞ口元の緩んだことだろうと察する。
（調べたものの、どなたが手がけていらっしゃるものかは不明）
・小文字「e」のカタカナへの絡まり方はタテヨコともにクール。
起筆の細い水平線をロゴの手前に持ってくることで背景のカタカナを邪魔しないまま存在している。
さいごに
一番残したかったのは、03にて記載した、カタカナがオセローの強さを、アルファベットが女性の美しさを表しているのではということ。
両者（カタカナとアルファベット）の「知恵の輪」のような構造が、人物個々人や人間関係の複雑さを示していると思う。
そういう目でこの記事の1枚目に載せたメインビジュアルと思われるポスターを見返すと、
真白の女性の後ろに褐色の男性が重なり、その後ろで黒服の男性が赤色の糸を構えているという構図。
冒頭に書いた通り、ビジュアルとこのロゴタイプとがお互いをより妖しく、魅惑的にしていると感じてしまう。
今は褐色の男性の背面にある赤い糸が、前面に現れるのだろうか。
ちなみに、「Othello」公開は本日2018年9月26日まで。
終わるということは、始まるということ。
次の演目のポスターも楽しみである。
6月30日に考える「因数分解」のこと
本日6月30日、私にとっては上半期最終日である。
かみはんき【上半期】一年を二期に分けた場合の前半の六か月。上期。
学生時代、私の上半期は4-9月だった。
会社員になり、会社の会計年度が12月なので私の上半期は1-
今日はその6月30日が持つイメージについて書いてみる。
この記事に登場する日付2月10日4月20日5月10日6月30日
さて
本題に入る前に少し寄り道をしたい。
もしかしたら私はこの話をしたかっただけかもしれない。
大学4年で就活をしていた時のこと。
とある会社の面接にて、
「そのアルバイトをして、あなたが先ほどおっしゃった“生徒さんと喜びを分かち合う瞬間” というのは具体的にどのようなものですか」
それほど掘り下げてもらえると思っていなかった私は、
「少し長くなるかもしれませんが」
数学を教えている時のことです。相手は高校一年生で、教えていたのは「因数分解」の章でした。ちょうど「展開」を学習し終えたばかりだった彼は、ふいにペンを置き私に問います。 『ねえ、この間せっかく式を「展開」してカッコから救出したのに、どうしてまたカッコで閉じこめちゃうの』 私は驚いて彼を見つめ、同じくペンを置いて考え始めました。その時の私の説明はこうでした。-----たとえば、10という数字を考えよう。足し算だと、「5+5」とも、「1+2+3+4」とも、「1+1+1+1+1+1+1+1+1+1」とも書ける。負の数もあるから、書き方は無限にあるよね。でも、掛け算だと、「2×5」「(-2)×(-5)」これだけ。2通りだけで表せる。だからきっと、数の世界を理解しようとするとき、足し算じゃなくて掛け算で考えることが、 数が与えてくれた通り道なんじゃないかな。 この間まで一緒にやった「展開」は、なんだかよく分からないものを足し算の形に直して、 要素を見つけてあげる作業。 でも、中身がわかったら、数が一番美しく見える形、掛け算の形に戻してあげる。 その時の方法が「因数分解」ということ、だと思う。 -----手を顎に当てたりこちらを覗き見たりしながら私の長い話を聞いていてくれた彼は、私が話し終わるなり、 「ああ、なるほど、まだ感覚だけど、そうなんだ。掛け算ってきれいなんだ。うん、なんかわかったかも。」 と言って明るい表情になりました。そのときほど生徒と心を通わせた実感を持てたことはありません。この体験が、物事を深く考えることと、それを伝わるまで伝えるのとの良さを、私に教えてくれました。
私の「癖」
いつからか、街中で数字を見つけると「素因数分解」
それは、どんな数でも割り切れない「素数」
何かで割り切れる数を見つけるとその数たち同士が家族であるよう
先のアルバイトの体験が、
・何か複雑に見えるものをカッコの檻から出してあげて、
・そうして中身がわかったら、カッコの部屋に戻してあげる
そういうことを私に根付かせたのだと思う。
ナンバープレートと素因数分解
ここからが上半期最終日に考えた話である。
街中で、ナンバープレートが「210」の車を見つけたとする。
私の頭の中で以下のような式が浮かぶ。
210 = 2×3×5×7
何気ない数字が、最初の4つの素数の掛け算で表せることに気付く。
数字を日付に変換するのがすきな私は、
つぎに、この210を2倍にしてみる。
つぎに、210を3倍にしてみる。
630 = 210×36月30日も素数との親密さを帯びてくる。上半期最終日、本日である。
210と、420、そこから連想される2月10日、
6月30日が上半期を美しい素数の積のチェーンで結びあげてくれ
私にとって6月30日は、そういう日である。
発展させる
先ほど、1つ目から4つ目までの素数を掛け算した。
もっと掛けてみるとどうなるだろうという好奇心に駆られる。
2×3×5×7 = 2102×3×5×7×11 = 2,3102×3×5×7×11×13 = 30,0302×3×5×7×11×13×17 = 510,510（※）2×3×5×7×11×13×17×19 = 9,699,690
4行目の（※）で示した数字も、
けれども先の3つの日付とは違い、
なんせ510ではなく51万510である。
まとめ
・ある数や式の中身や要素を理解したい時は足し算の、
・同様に、何か複雑に思えることを理解したい時は要素を分解して
想定外の梅雨明け宣言。
7月は夏休みをいただいてドイツへゆく。
帰ってきたら、その経験もストックしたいと思う。
